Question

8．已知數列{a_n}與{b_n}滿足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=log₂b_n（n∈N^*）．若{a_n}為等差數列，且a₁=2，b₃=64b₂．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設c_n═（a_n+n+1）•2${\;}^{{a}_{n}-2}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過a₃=$lo{g}_{2}\frac{_{3}}{_{2}}$及a₁=2可得d=2，進而可得a_n=2n，利用a₁+a₂+a₃+…+a_n=log₂b_n可得b_n=2^n（n+1）；
（Ⅱ）通過（I）及c_n═（a_n+n+1）•2${\;}^{{a}_{n}-2}$可得T_n、4T_n的表達式，利用錯位相減法計算即得結論．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：a₁+a₂+a₃=log₂b₃，a₁+a₂=log₂b₂，
兩式相減可得：a₃=$lo{g}_{2}\frac{_{3}}{_{2}}$=log₂64=6，
∵a₁=2，∴d=2，∴a_n=2n，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=$2•\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1）=log₂b_n，
∴b_n=2^n（n+1）；
（Ⅱ）由題意c_n═（a_n+n+1）•2${\;}^{{a}_{n}-2}$=（3n+1）4^n-1，
∴T_n=4+7•4+10•4²+…+（3n+1）•4^n-1，
4T_n=4•4+7•4²+10•4³+…+（3n+1）•4ⁿ，
兩式相減得：-3T_n=4+3•4+3•4²+…+3•4^n-1-（3n+1）•4ⁿ
=4+3（4+4²+…+4^n-1）-（3n+1）•4ⁿ
=4+3•$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-3}$-（3n+1）•4ⁿ，
整理得：T_n=n•4ⁿ（n∈N^*）．

點評 本題考查求數列的通項及前n項和公式，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．