Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=a_n-1+n（n＞1，n∈N^*），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得a_n-a_n-1=n，由此利用疊加法能求出an=

n(n+1)

2

．
（2）由bn=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項的和S_n．

解答： 解：（1）∵an=an-1+n(n＞1，n∈N*)，
∴a_n-a_n-1=n，
由疊加得：
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+…+n=

n(n+1)

2

(n＞2)，
當(dāng)n=1時，上式的值為1，滿足條件a₁=1，
∴an=

n(n+1)

2

（2）∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an

，
∴bn=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Sn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．