【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中點.
(1)求證:平面PBC⊥平面PCD;
(2)設(shè)點N是線段CD上一動點,且 =λ ,當(dāng)直線MN與平面PAB所成的角最大時,求λ的值.
【答案】
(1)證明:取PC的中點E,則連接DE,
∵M(jìn)E是△PBC的中位線,
∴ME ,又AD ,
∴ME AD,
∴四邊形AMED是平行四邊形,∴AM∥DE.
∵PA=AB,M是PB的中點,
∴AM⊥PB,
∵PA⊥平面ABCD,BC平面ABCD,
∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB,∵AM平面PAB,
∴BC⊥AM,
又PB平面PBC,BC平面PBC,PB∩BC=B,
∴AM⊥平面PBC,∵AM∥DE,
∴DE⊥平面PBC,又DE平面PCD,
∴平面PBC⊥平面PCD.
(2)解:以A為原點,以AD,AB,AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:
則A(0,0,0),B(0,2,0),M(0,1,1),P(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0).
∴ =(1,2,0), =(0,1,1), =(1,0,0),
∴ =λ =(λ,2λ,0), =(λ+1,2λ,0),
= =(λ+1,2λ﹣1,﹣1).
∵AD⊥平面PAB,∴ 為平面PAB的一個法向量,
∴cos< >= = = =
=
設(shè)MN與平面PAB所成的角為θ,則sinθ= .
∴當(dāng) 即 時,sinθ取得最大值,
∴MN與平面PAB所成的角最大時 .
【解析】(1)取PC的中點E,連接DE,由四邊形ADEM是平行四邊形得AM∥DE,由AM⊥平面PBC得DE⊥平面PBC,故而平面PBC⊥平面PCD;(2)以A為原點建立坐標(biāo)系,求出 和平面PAB的法向量 ,得出|cos< >|關(guān)于λ的函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出|cos< >|取得最大值時的λ的值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直,以及對空間角的異面直線所成的角的理解,了解已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)通過調(diào)查問卷(滿分50分)的形式對本企業(yè)900名員工的工作滿意度進(jìn)行調(diào)查,并隨機(jī)抽取了其中30名員工(其中16名女員工,14名男員工)的得分,如下表:
女 | 47 36 32 48 34 44 43 47 46 41 43 42 50 43 35 49 |
男 | 37 35 34 43 46 36 38 40 39 32 48 33 40 34 |
(Ⅰ)現(xiàn)求得這30名員工的平均得分為40.5分,若規(guī)定大于平均得分為“滿意”,否則為“不滿意”,請完成下列表格:
“滿意”的人數(shù) | “不滿意”的人數(shù) | 合計 | |
女 | 16 | ||
男 | 14 | ||
合計 | 30 |
(Ⅱ)根據(jù)上述表中數(shù)據(jù),利用獨立性檢驗的方法判斷,能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為該企業(yè)員工“性別”與“工作是否滿意”有關(guān)?
參考數(shù)據(jù):
0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
參考公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(3)若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個實數(shù)根,記,求實數(shù)的取值范圍 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】心理學(xué)家通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為發(fā)現(xiàn);學(xué)生的接受能力與老師引入概念和描述問題所用的時間相關(guān),教學(xué)開始時,學(xué)生的興趣激增,學(xué)生的興趣保持一段較理想的狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開始分散,分析結(jié)果和實驗表明,用表示學(xué)生掌握和接受概念的能力, x表示講授概念的時間(單位:min),可有以下的關(guān)系:
(1)開講后第5min與開講后第20min比較,學(xué)生的接受能力何時更強(qiáng)一些?
(2)開講后多少min學(xué)生的接受能力最強(qiáng)?能維持多少時間?
(3)若一個新數(shù)學(xué)概念需要55以上(包括55)的接受能力以及13min時間,那么老師能否在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個概念?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0
(1)求C的大小;
(2)求a2+b2的最大值,并求取得最大值時角A,B的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, .
(1)若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)的圖象在點處的切線方程;
(2)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,E,F分別為PC,BD的中點.
求證:(1)EF∥平面PAD;
(2)PA⊥平面PDC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線 =1(a>0,b>0)上一點C,過雙曲線中心的直線交雙曲線于A,B兩點,記直線AC,BC的斜率分別為k1 , k2 , 當(dāng) +ln|k1|+ln|k2|最小時,雙曲線離心率為( )
A.
B.
C. +1
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,M,N分別是PA,BC的中點,且AD=2PD=2.
(1)求證:MN∥平面PCD;
(2)求證:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求四棱錐P-ABCD的體積.
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