6.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+$\frac{8}{m}}$|+|x-2m|(m>0).
(1)求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)求使得不等式f(1)>10成立的實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)運用絕對值不等式的性質(zhì):|a|+|b|≥|a-b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0取得等號,可得f(x)的最小值;
(2)求得f(1),討論當(dāng)1-2m<0,當(dāng)1-2m≥0,去掉絕對值,解m的不等式,即可得到所求m的范圍.

解答 解:(1)由m>0,有f(x)=|x+$\frac{8}{m}$|+|x-2m|≥|x+$\frac{8}{m}$-(x-2m)|=|$\frac{8}{m}$+2m|=$\frac{8}{m}$+2m,
當(dāng)且僅當(dāng)$({x+\frac{8}{m}})({x-2m})≤0$時,取等號,
所以f(x)的最小值為$\frac{8}{m}+2m$.
(2)f(1)=|1+$\frac{8}{m}$|+|1-2m|(m>0),
當(dāng)1-2m<0,即$m>\frac{1}{2}$時,$f(1)=1+\frac{8}{m}-({1-2m})=\frac{8}{m}+2m$,
由f(1)>10,得$\frac{8}{m}+2m>10$,化簡得m2-5m+4>0,解得m<1或m>4,
所以$\frac{1}{2}<m<1$或m>4;
當(dāng)1-2m≥0,即$0<m≤\frac{1}{2}$時,$f(1)=1+\frac{8}{m}+({1-2m})=2+\frac{8}{m}-2m$,
由f(1)>10,得$2+\frac{8}{m}-2m>10$,即(m+2)2<8,此式在$0<m≤\frac{1}{2}$時恒成立.
綜上,當(dāng)f(1)>10時,實數(shù)m的取值范圍是(0,1)∪(4,+∞).

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法,注意運用絕對值不等式的性質(zhì),考查分類討論的思想方法,化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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