Question

18．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x＞0時，函數(shù)f（x）的解析式為$f（x）=\frac{2}{x}-1$．
（1）求當x＜0時函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（0，+∞）上的是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當x＜0時，-x＞0，整體代入已知式子由偶函數(shù)可得；
（2）設x₁，x₂是（0，+∞）上任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，作差判斷f（x₁）-f（x₂）的符號可得．

解答 解：（1）當x＜0時，-x＞0，
∵當x＞0時，函數(shù)f（x）的解析式為$f（x）=\frac{2}{x}-1$，
∴f（-x）=$\frac{2}{-x}$-1=-$\frac{2}{x}$-1，
由偶函數(shù)可知當x＜0時，f（x）=f（-x）=-$\frac{2}{x}$-1；
（2）設x₁，x₂是（0，+∞）上任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}}$-1-$\frac{2}{{x}_{2}}$+1=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
由x₁，x₂的范圍和大小關系可得f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），故f（x）在（0，+∞）上的是減函數(shù)

點評 本題考查函數(shù)解析的求解和定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎題．