Question

8．設△ABC的重心為G，且|GB|+|GC|=4，若|BC|=2，則|GA|的取值范圍是$[2\sqrt{3}，4）$．

Answer 1

分析 由|BC|=2，可設B（-1，0），C（1，0），即c=1．|GB|+|GC|=4=2a＞2=|BC|，可得：點G在橢圓：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，可得|GO|∈$[\sqrt{3}，2）$．再利用|GA|=2|GO|，即可得出．

解答 解：∵|BC|=2，∴可設B（-1，0），C（1，0），即c=1．
∵|GB|+|GC|=4=2a＞2=|BC|，
∴b²=a²-c²=3．
∴點G在橢圓：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，
∴|GO|∈[b，a），即|GO|∈$[\sqrt{3}，2）$．
∵|GA|=2|GO|，
∴|GA|∈$[2\sqrt{3}，4）$，
故答案為：$[2\sqrt{3}，4）$，

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、三角形的重心的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．