Question

16．已知函數(shù)f（x）=（a-1）x^a（a∈R），g（x）=|lgx|．
（Ⅰ）若f（x）是冪函數(shù)，求a的值并求其單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）關(guān)于x的方程g（x-1）+f（1）=0在區(qū)間（1，3）上有兩不同實(shí)根x₁，x₂（x₁＜x₂），求a+$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)冪函數(shù)的定義，求出a的值，即得f（x）的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）把方程化為g（x-1）=1-a，利用函數(shù)y=g（x-1）與y=1-a在x∈（1，3）的圖象上有二交點(diǎn)，得出a的取值范圍以及x₁，x₂的關(guān)系，從而求出a+$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（a-1）x^a（a∈R），f（x）是冪函數(shù)，
∴由題有a-1=1，得a=2；-------------2’
∴f（x）=x²的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）-------------4’
（Ⅱ）方程g（x-1）+f（1）=0化為g（x-1）=1-a，
由題意函數(shù)y=g（x-1）與y=1-a在x∈（1，3）上有兩不同交點(diǎn)．----------5’
y=g（x-1）=|lg（x-1）|=$\left\{\begin{array}{l}{lg（x-1），x≥2}\\{-lg（x-1），1＜x＜2}\end{array}\right.$；-------------------7’
在x∈（1，2]時，y=g（x-1）單調(diào)遞減，
又y=g（x-1）∈[0，+∞），
在x∈[2，3）時，y=g（x-1）單調(diào)遞增，
y=g（x-1）∈[0，lg2），----------------9’
所以0＜1-a＜lg2，即1-lg2＜a＜1，--------------------------11’
由x₁＜x₂，可知x₁∈（1，2），x₂∈（2，3），
且$\left\{\begin{array}{l}{-lg{（x}_{1}-1）=1-a}\\{lg{（x}_{2}-1）=1-a}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{lg{（x}_{1}-1）=-（1-a）}\\{lg{（x}_{2}-1）=1-a}\end{array}\right.$
相加消去a，可得lg（x₁-1）+lg（x₂-1）=0，
即（x₁-1）（x₂-1）=1，
展開并整理得x₁x₂=x₁+x₂，即$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=1．--------------------14’
所以a+$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的取值范圍為（2-lg2，2）．------------------16’

點(diǎn)評 本題考查了冪函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用問題以及分類討論與轉(zhuǎn)化思想，是就綜合性題目．