Question

20．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow b$=（sinA，cosA），$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若sin（B-C）=2cosBsinC，求$\frac{c}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量夾角公式以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式和定義建立方程關(guān)系進(jìn)行求解解求角A的大��；
（Ⅱ）若sin（B-C）=2cosBsinC，利用正弦定理以及兩角和差的余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理即可求$\frac{c}$的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow b$=（sinA，cosA），$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°，
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\sqrt{3}$sinA+cosA=|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$|cos60°，
即2sin（A+$\frac{π}{6}$）=2×1×$\frac{1}{2}$=1，
即sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
則A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$，
則A=0（舍）或A=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）若sin（B-C）=2cosBsinC，
則sinBcosC-cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC=3cosBsinC，
即tanB=3tanC，
即tan（$\frac{π}{3}$-C）=3tanC，
即$\frac{\sqrt{3}-tanC}{1+\sqrt{3}tanC}$=3tanC，
$\sqrt{3}$-tanC=3tanC+3$\sqrt{3}$tan²C，
即3$\sqrt{3}$tan²C+4tanC-$\sqrt{3}$=0，
則tanC=$\frac{-4±\sqrt{16+4×3\sqrt{3}×\sqrt{3}}}{6\sqrt{3}}$=$\frac{-4±2\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{-2±\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$，
∵B+C=$\frac{π}{3}$，∴0＜C＜$\frac{π}{3}$
則tanC＞0，∴tanC=$\frac{-2+\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$，
由sinBcosC=3cosBsinC，
得$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{3cosB}{cosC}$=$\frac{3cos（\frac{π}{3}-C）}{cosC}$=$\frac{3（\frac{1}{2}cosC+\frac{\sqrt{3}}{2}sinC）}{cosC}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}tanC$，
即$\frac{c}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}tanC$=$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×$\frac{-2+\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{13}-3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求解，利用向量數(shù)量積的定義和公式以及正弦定理，兩角和差的余弦公式和正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．