Question

5．已知正方形ABCD，E是邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起至A′DE，如圖所示，若A′CD為正三角形，則ED與平面A′DC所成角的余弦值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 過A作AF⊥DE于M，交BC于F，則A在底面的射影O在MF上，由A′C=A′D可知OC=OD，故O為CD的中垂線與MF的交點(diǎn)，以B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{ED}$和平面A′CD的法向量$\overrightarrow{n}$，則ED與平面A′DC所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{ED}$＞|，從而得出所求角的余弦值．

解答 解：在圖1中，過A作AF⊥DE于M，交BC于F，
在圖2中，作A′O⊥平面BCDE，連接OC，OD，則A′O⊥OC，A′O⊥OD．
∵A′CD為正三角形，∴A′C=A′D，∴OC=OD．
∴O為CD的中垂線與MF的交點(diǎn)．
在圖1中，取CD中點(diǎn)N，連接EN交AF于O．
設(shè)正方形邊長為2，則DE=$\sqrt{5}$，∴AM=$\frac{AE•AD}{DE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，EM=$\sqrt{A{E}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∵△EOM∽△EDN，∴$\frac{EO}{DE}=\frac{EM}{EN}=\frac{OM}{DN}$，∴OM=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，OE=$\frac{1}{2}$．
∴A′O=$\sqrt{A′{M}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
以B為原點(diǎn)，以BE，BC為x軸，y軸，以平面BCDE過B點(diǎn)的垂線為z軸建立空間坐標(biāo)系B-xyz，如圖所示：
則E（1，0，0），D（2，2，0），C（0，2，0），A′（1，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{ED}$=（1，2，0），$\overrightarrow{CD}$=（2，0，0），$\overrightarrow{DA′}$=（-1，-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
設(shè)平面A′CD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA′}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{-x-\frac{3}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{ED}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{ED}|}$=$\frac{2}{2•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
設(shè)ED與平面A′DC所成角為α，則sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間向量的應(yīng)用與空間角的計(jì)算，確定A′在底面的射影位置是解題關(guān)鍵．屬于中檔題．