Question

18．已知離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，A是橢圓C的左頂點，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若斜率為k的直線交橢圓C于點M，N兩點（異于A點），且滿足AM⊥AN，問直線MN是否恒過定點？說明理由．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的定義可得a=2，離心率為$\frac{1}{2}$，c=1，求出b，即可求橢圓C的標準方程；
（2）聯立方程組得到（3+4k²）x²+8km+4m²-12=0，利用AM⊥AN，結合韋達定理得到7m²+16km+4k²=0，7m=-2k，m=-2k，代入求解即可得出定點．

解答 解：（1）由橢圓的定義可得，|AF₁|+|AF₂|=2a=4，解得a=2，
∵離心率為$\frac{1}{2}$，∴c=1，
∴$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設直線l：y=kx+m，M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），A（2，0），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得（3+4k²）x²+8km+4m²-12=0，
x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
即4k²＞m²-3
∵AM⊥AN，
∴（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=0，
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
∴（k²+1）x₁x₂+（mk-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
∴（k²+1）•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+（mk-2）（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+m²+4=0，
∴7m²+16km+4k²=0，
∴7m=-2k，m=-2k，
當7m=-2k時，y=kx+m=-$\frac{7}{2}$mx+m=m（-$\frac{7}{2}$x+1）（k≠0）直線l過定點（$\frac{2}{7}$，0）
當m=-2k時，y=kx-2k=k（x-2），直線l過定點（2，0）
∵右頂點為A（2，0）∴直線l過定點（2，0）不符合題意，
根據以上可得：直線l過定點（$\frac{2}{7}$，0）．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注考查了直線與橢圓的位置關系，聯立方程組，結合韋達定理整體求解，屬于中檔題．