Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2x-2-a（a≤0），
（1）若a=-1，求函數(shù)的零點；
（2）若函數(shù)在區(qū)間（0，1]上恰有一個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)零點的判定定理

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用零點的含義、一元二次方程的解法即可得出；
（2））分類討論：當a=0時，直接求出．當a＜0，二次函數(shù)有且只有一個零點且在（0，1]時，滿足條件，

△=4+4a(a+2)=0 0＜- 1 a ≤1

，解出即可．
③當a＜0，二次函數(shù)有兩個零點，一個在（0，1]時，滿足條件，

△=4+4a(a+2)＞0 f(0)•f(1)＜0

，

解答： 解：（1）當a=-1時，f（x）=-x²+2x-1，
令f（x）=-x²+2x-1=0，
解得x=1，
∴當a=-1時，函數(shù)f（x）的零點是1．
（2）①當a=0時，2x-2=0得x=1，符合題意．
當a≠0時，f（x）=a(x+

1

a

)2-2-a-

1

a

．△=4（a+1）²≥0．
②當-1＜a＜0，-

1

a

＞1．二次函數(shù)有且只有一個零點且在（0，1]時，
則f（0）＜0，f（1）=0，∴-2-a＜0，解得-1＜a＜0．
③當a=-1時，f（x）=-（x-1）²=0，解得x=1，滿足條件．
④當a＜-1，則0＜-

1

a

＜1．f（0）=-2-a≤0，f（1）=0，解得-1＞a≥-2．
綜上可得：a∈[-2，0]．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)零點存在性定理，同時考查了運算求解的能力和分類討論的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．