Question

7．給出下列命題：
①函數(shù)y=sin（$\frac{5}{2}$π-x）是偶函數(shù)；
②方程lgx=sinx有兩個不等的實根；
③點（$\frac{π}{3}$，0）是函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）是的一個對稱中心
④設A、B、C∈（0，$\frac{π}{2}$），且sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，則B-A等于-$\frac{π}{3}$；
以上命題中正確的個數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)進行判斷．
②先把方程sinx=lgx實根個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=lgx的圖象交點個數(shù)．畫出圖象，由圖象即可得出結(jié)論
③根據(jù)三角函數(shù)的對稱性的性質(zhì)進行判斷．
④利用三角函數(shù)的平方關系結(jié)合兩角和差的正弦公式進行化簡即可．

解答 解：①函數(shù)y=sin（$\frac{5}{2}$π-x）=cosx是偶函數(shù)；故①正確，
②∵方程sinx=lgx實根個數(shù)，就是函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=lgx的圖象交點個數(shù)．
∴作出兩個函數(shù)的圖象如圖，
∵sinx≤1，且x=10時，y=lgx=1

x＞10時，y=lgx＞1．
如圖得：交點有3個．
故②錯誤；
③當x=$\frac{π}{3}$時，f（$\frac{π}{3}$）=sin（2×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=sinπ=0，點（$\frac{π}{3}$，0）是函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）是的一個對稱中心，故③正確，
④：∵sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，
∴sinC=sinA-sinB，cosC=cosB-cosA，
又sin²C+cos²C=1，
∴（sinA-sinB）²+（cosB-cosA）²=1，
即sin²A-2sinAsinB+sin²B+cos²B-2cosAcosB+cos²A=1，
整理得：cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=$\frac{1}{2}$，
在A，B，C∈（0，）內(nèi)，sinA＞0，sinB＞0，sinC＞0，由題中條件得sinA-sinB=sinC＞0，
又由正弦函數(shù)增減性得A＞B，所以A-B＞0，又A，B，C∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴0＜A-B＜$\frac{π}{2}$，
則A-B=$\frac{π}{3}$，即B-A=-$\frac{π}{3}$．故④正確，

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，本題綜合性較強，難度較大．