15.已知紙片Rt△ABC中,AB=AC=1,過頂點A翻折紙片,得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸)使AD垂直于桌面,且二面角B-AD-C為直二面角.
(1)求VD-ABC;
(2)求四面體D-ABC的表面積.

分析 (1)根據(jù)線面垂直及直二面角可得D為BC中點,且BD⊥CD,利用直角三角形的性質(zhì)求出AD,BD,CD,得出棱錐的底面積和高;
(2)四面體的三個面為到腰直角三角形,一個面為正三角形,分別求出每個面的面積即可.

解答 解:(1)∵AD⊥平面BCD,BD?平面BCD,CD?平面BCD,
∴AD⊥BD,AD⊥CD,
∵Rt△ABC中,AB=AC=1,
∴D是BC的中點,∴BD=CD=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴∠BDC為直二面角B-AD-C的平面角,即BD⊥CD.
∴VD-ABC=VA-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{24}$.
(2)∵AD,BD,CD兩兩垂直,且AD=BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴S△ABD=S△BCD=S△ACD=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{4}$.
AB=BC=AC=1.
∴S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{1}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$.
∴四面體D-ABC的表面積S=S△ABD+S△BCD+S△ACD+S△ABC=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$.

點評 本題考查了棱錐的體積與表面積計算,屬于基礎(chǔ)題.

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