Question

3．已知圓C的圓心是直線x-y+1=0與x軸的交點，且圓C與直線x+y+3=0相切．
（I）求圓C的方程；
（Ⅱ）過點P（0，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別與圓C相交A、B兩點．試判斷直線AB的斜率是否為定值，并說明理由．

Answer 1

分析 （I）求出直線x-y+1=0與x軸的交點即為圓心C坐標(biāo)，求出點C到直線x+y+3=0的距離即為圓的半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
（Ⅱ）求出A，B的坐標(biāo)，利用斜率公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）對于直線x-y+1=0，令y=0，得到x=-1，即圓心C（-1，0），
∵圓心C（-1，0）到直線x+y+3=0的距離d=$\frac{|-1+0+3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴圓C半徑r=$\sqrt{2}$，
則圓C方程為（x+1）²+y²=2；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)PA的方程為y=kx+1，
代入（x+1）²+y²=2化簡得：（k²+1）x²+（2+2k）x=0，
∴x₁=-$\frac{2+2k}{{k}^{2}+1}$，
用-k代替x₁，y₁中的k，得x₂=-$\frac{2-2k}{{k}^{2}+1}$，
∴直線AB的斜率k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=1為定值．

點評 此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識有：一次函數(shù)與x軸的交點，點到直線的距離公式，以及直線與圓的位置關(guān)系，求出圓心坐標(biāo)與半徑是解本題的關(guān)鍵．