Question

3．正三角形ABC的邊長為1，向量$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，且0≤x，y≤1，$\frac{1}{2}$≤x+y≤1，則動點(diǎn)P的軌跡所形成的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{16}$．

Answer 1

分析 分別以邊AB，AC所在的直線為x，y軸，建立坐標(biāo)系，從而可以得出P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），然后過B，C分別作AC，AB的平行線并交于點(diǎn)D，這樣根據(jù)條件0≤x，y≤1，$\frac{1}{2}$≤x+y≤1，便可找到點(diǎn)P所在的平面區(qū)域，根據(jù)圖形便可求出該平面區(qū)域的面積，即得出動點(diǎn)P所形成的平面區(qū)域的面積．

解答 解：分別以邊AB，AC所在的直線為x軸，y軸建立如圖所示坐標(biāo)系：
以向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$為一組基底，則P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y）；
分別過B，C作AC，AB的平行線并交于點(diǎn)D，
∵0≤x，y≤1；
∴點(diǎn)P所在的平面區(qū)域?yàn)槠叫兴倪呅蜛CDDB內(nèi)部；
又$\frac{1}{2}$≤x+y≤1
∴P點(diǎn)所在區(qū)域在圖中陰影部分，
∴動點(diǎn)P所形成平面區(qū)域面積為$\frac{1}{2}•1•1•sin60°-\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•sin60°$=$\frac{3\sqrt{3}}{16}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{16}$．

點(diǎn)評 考查通過建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)解決向量問題的方法，向量坐標(biāo)的定義，能找到不等式所表示的平面區(qū)域，以及三角形的面積公式．