Question

6．已知sinα+cosα=$\sqrt{2}$，求sin⁴α-cos⁴α的值．

Answer 1

分析 由兩邊平方，運(yùn)用同角的平方關(guān)系和二倍角公式，可得α=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，代入所求式子，可得所求值．

解答 解：sinα+cosα=$\sqrt{2}$，
平方可得sin²α+cos²α+2sinαcosα=2，
即有1+sin2α=2，
即為sin2α=1，
即有2α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
則α=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
即有sinα=cosα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有sin⁴α-cos⁴α=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查同角的平方關(guān)系和二倍角公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．