Question

15．設(shè)△ABC的內(nèi)角∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且2cos（A-B）=1+4cos（A+C）cos（B+C）．
（1）求∠C的值；
（2）若a=5，c=7，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由三角形的內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式結(jié)合三角形公式可得cosC，可得答案；
（2）由余弦定理可得b值，代入面積公式S=$\frac{1}{2}$absinC計算可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中2cos（A-B）=1+4cos（A+C）cos（B+C），
∴2cos（A-B）=1+4（-cosB）（-cosA）=1+4cosAcosB，
∴2cosAcosB+2sinAsinB=1+4cosAcosB，
∴sinAsinB-cosAcosB=$\frac{1}{2}$，
∴cosC=-（sinAsinB-cosAcosB）=-$\frac{1}{2}$，
∴∠C=120°；
（2）∵a=5，c=7，∠C=120°，
∴由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
代入數(shù)據(jù)可得49=25+b²+5b，解得b=3，或b=-8（舍去），
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×5×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$

點評 本題考查解三角形，涉及余弦定理和面積公式以及三角函數(shù)公式，屬中檔題．