Question

16．已知α、β均為銳角，且cosα=$\frac{4}{5}，cos（α+β）=-\frac{5}{13}$，求sinβ的值．

Answer 1

分析 由已知可求sinα，sin（α+β）的值，又β=（α+β）-α，利用兩角差的正弦函數(shù)公式即可求值．

解答 解：∵α為銳角，$cosα=\frac{4}{5}$，∴$sinα=\sqrt{1-{{cos}^2}α}=\frac{3}{5}$…（2分）
∵α、β為銳角，∴$α+β∈（0，π），而cos（α+β）=-\frac{5}{13}$，
∴$sin（α+β）=\sqrt{1-{{cos}^2}（α+β）}=\frac{12}{13}$（4分）     
 又∵β=（α+β）-α…（5分）
∴sinβ=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα…（6分）
=$\frac{12}{13}×\frac{4}{5}-（-\frac{5}{13}）×\frac{3}{5}=\frac{63}{65}$．…（8分）

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式，兩角差的正弦函數(shù)公式的應用，屬于基本知識的考查．