Question

5．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，其前n項和為S_n，且a₃=6，S₃=12，設(shè)${b_n}={2^{a_n}}$．
（1）求a_n；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，即可得到所求通項；
（2）求出${b_n}={2^{a_n}}$=4ⁿ，運用等比數(shù)列的求和公式，化簡計算即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，
$\left\{{\begin{array}{l}{{a_3}=6}\\{{S_3}=12}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+2d=6}\\{3{a_1}+3d=12}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=2}\\{d=2}\end{array}}\right.}\right.}\right.⇒{a_n}=2n$；
（2）${b_n}={2^{a_n}}={2^{2n}}={4^n}$，
可得T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=4+4²+4³+…+4ⁿ
=$\frac{{4-4×{4^n}}}{1-4}=\frac{{{4^{n+1}}-4}}{3}$．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．