Question

在空間中，有如下命題：
①互相平行的兩條直線在同一平面內(nèi)的射影必然是互相平行的兩條直線；
②若平面α內(nèi)任意一條直線m∥平面β，則α∥β；
③若平面α與平面β的交線為m，平面β內(nèi)的直線n⊥直線m，則n⊥α；
④若點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)P在該三角形所在平面內(nèi)的射影是三角形的外心；
⑤若平面β內(nèi)的直線m垂直于平面α，那么β⊥α；
其中正確的命題為

 

 （填上所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：對(duì)于①，取兩個(gè)平面α，β，且使α⊥β，在α內(nèi)取兩條平行直線a，b，由a，b在β內(nèi)的射影可判斷此命題的真假；
對(duì)于②，在平面α內(nèi)取兩條相交直線即可判斷此命題的真假；
對(duì)于③，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可判斷此命題的真假；
對(duì)于④，根據(jù)射影長性質(zhì)及三角形外心的定義可判斷此命題的真假；
對(duì)于⑤，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可判斷此命題的真假．

解答： 解：在命題①中，設(shè)兩個(gè)平面α，β互相垂直，對(duì)于α內(nèi)的兩條平行直線a，b，在β內(nèi)的射影是兩條重合的直線（即α，β的交線），故①錯(cuò)．
在命題②中，由平面α內(nèi)任意一條直線m∥平面β，知α內(nèi)的兩條相交直線平行于平面β，所以α∥β，故②正確．
在命題③中，由面面垂直的性質(zhì)定理知，缺少條件“α⊥β”，故③錯(cuò)．
在命題④中，設(shè)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)的射影為O，由PA=PB=PC知，A0=B0=C0，即點(diǎn)O是△ABC的外心，故④正確．
在命題⑤中，根據(jù)“若一個(gè)平面（β）經(jīng)過另一個(gè)平面（α）的一條垂線（m），則這兩個(gè)平面互相垂直（β⊥α）”知，⑤正確．
故答案為：②④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了射影的定義及射影長性質(zhì)，面面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的性質(zhì)定理等，考查邏輯推理能力與空間想象能力，關(guān)鍵是牢記定理成立的條件，并會(huì)畫圖，舉出反例．