Question

已知函數f（x）=λx（1-x）（λ＞0，x∈[0，1]），若1，sinα，f（sin

α

2

）²成等比數列．
（1）求λ的值；
（2）試探求函數g（x）=f（cos

x

2

）²的性質．

Answer 1

考點：等比數列的性質,數列與函數的綜合

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用等比數列的性質，建立方程，可求λ的值；
（2）化簡函數，利用余弦函數的性質，可得結論．

解答： 解：（1）∵1，sinα，f（sin

α

2

）²成等比數列，
∴sin²α=f（sin

α

2

）²，
∴sin²α=λ（sin

α

2

）²[1-（sin

α

2

）²]，
∴λ=4；
（2）g（x）=f（cos

x

2

）²=4（cos

x

2

）²[1-（cos

x

2

）²]=sin²x=

1-cos2x

2

，
定義域為R，值域為[0，1]，函數為偶函數，
函數在[kπ，kπ+

π

2

]上單調遞增，
在[kπ+

π

2

，kπ+π]上單調遞減．

點評：本題考查等比數列的性質、余弦函數的性質，考查學生的計算能力，正確運用等比數列的性質是關鍵．