Question

8．如圖，多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，EA⊥平面ABCD．FC∥EA，G，H分別是AB，EF的中點，EA=AB=2CF=2
（Ⅰ）證明：GH∥平面BCF；
（Ⅱ）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明GH∥平面BCE，可找到底面菱形的對角線交點O，連OH，OG，證明平面GHO∥平面BCF，從而得到GH∥平面BCE；
（Ⅱ）把多面體ABCDEF的體積轉(zhuǎn)化為2V_B-ACEF求解．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
連接AC，BD，設AC∩BD=O，連OH，OG，
∵四邊形ABCD為正方形，∴AO=CO，
又∵G，H分別為AB，EF的中點，
∴GO∥BC，HO∥CF，
∴平面GHO∥平面BCF，
∵GH?平面GHO，∴GH∥面BCF；
（Ⅱ）解：∵EA⊥平面ABCD，∴EA⊥BO，
又BO⊥AC，∴BO⊥面ACEF，
∴V_ABCDEF=2V_B-ACEF=2×$\frac{1}{3}×{S}_{ACEF}×BO$
=2×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）×2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．