Question

7．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥DB，垂足為E，且AE=3，若F為CE的中點，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{DF}$=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 運用向量垂直的條件：數量積為0，和向量的中點表示形式，以及向量數量積的定義，計算即可得到所求值．

解答 解：由AE⊥DB，可得$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{DE}$=0，
F為CE的中點，可得$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{DE}$），
則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{DE}$）
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{DE}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AB}$+0）
=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AE}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos∠BAE=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AE}$|²=$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查向量的數量積的定義和性質，主要是向量的平方即為模的平方，以及向量垂直的條件：數量積為0，中點向量的表示形式，考查運算能力，屬于中檔題．