Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，∠CBD=60°，BC=2．
（Ⅰ）求證：平面ABC⊥平面ACD；
（Ⅱ）若E是BD的中點，F(xiàn)為線段AC上的動點，EF與平面ABC所成的角記為θ，當tanθ的最大值為

15

2

，求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）直接根據(jù)已知條件，利用線線垂直，轉(zhuǎn)化成線面垂直，最后轉(zhuǎn)化出面面垂直．
（Ⅱ）首先建立空間直角坐標系，利用平面的法向量，建立等量關(guān)系，最后求出二面角平面角的余弦值．

解答： 證明：（Ⅰ）在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，
所以：AB⊥CD，
又∵BC⊥CD，
∴CD⊥平面ABC，
∵CD?平面ACD，
∴平面ABC⊥平面ACD．
（Ⅱ）建立空間直角坐標系C-xyz，
則：C（0，0，0），D（2

3

，0，0），B（0，2，0），E（

3

，1，0），
設(shè)A（0，2，t），
則：

CF

=λ

CA

=λ(0，2，t)
所以：F（0，2λ，tλ），

EF

=(-

3

，2λ-1，tλ)，
平面ABC的法向量為：

n

=(1，0，0)，
由sinθ=

3

(t2+4)2-4λ+4

由于tanθ的最大值為

15

2

，
則：（t²+4）-4λ+4的最小值為

19

5

．
解得：t=4，
又∵BC⊥CD，AC⊥CD，
所以∠ACB就是二面角A-CD-B的平面角．
cos∠ACB=

BC

AC

=

5

5

．

點評：本題考查的知識要點：面面垂直的判定定理，二面角的應(yīng)用，空間直角坐標系的應(yīng)用，法向量的應(yīng)用．及相關(guān)的運算問題．