Question

設函數(shù)f（x）=a（x+1）²ln（x+1）+bx，曲線y=f（x）過點（e-1，e²-e+1），且在點（0，0）處的切線方程為y=0．
（1）求a，b的值；
（2）證明：當x≥0時，f（x）≥x²．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由曲線y=f（x）過點（e-1，e²-e+1），代入可得ae²+b（e-1）=e²-e+1．f′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，由在點（0，0）處的切線方程為y=0．可得a+b=0，聯(lián)立解出即可．
（2）由（1）可得：f（x）=（x+1）²ln（x+1）-x．當x≥0時，f（x）≥x²．即g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²≥0．x≥0．利用導數(shù)研究其單調性極值與最值即可．

解答： （1）解：∵曲線y=f（x）過點（e-1，e²-e+1），∴ae²+b（e-1）=e²-e+1．
f′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，
∵在點（0，0）處的切線方程為y=0．
∴a+b=0，
聯(lián)立

a+b=0 ae2+b(e-1)=e2-e+1

，
解得a=1，b=-1．
（2）證明：由（1）可得：f（x）=（x+1）²ln（x+1）-x．當x≥0時，f（x）≥x²．即g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²≥0．x≥0．
g′（x）=2（x+1）（ln（x+1）-

1

2

），
當x＞

e

-1時，g′（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調遞增；當0＜x＜

e

-1時，g′（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調遞減．
∴當x=

e

-1時，g（x）取得極小值即最小值，g(

e

-1)=

1

2

e-(

e

-1)-(e+1-2

e

)=

e

-

1

2

e＞0，
∴g（x）＞0，
∴當x≥0時，f（x）≥x²．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究其單調性極值與最值、導數(shù)幾何意義、切線方程，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．