Question

1．（文科）已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)（1，1）處的切線與曲線y=ax²+（a+2）x+1相切，則a=8．
（理科）曲線y=x²與y=x所圍成的封閉圖形的面積為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （文科）先運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，得到切線方程，再根據(jù)該直線與拋物線相切，由△=0解出a；
（理科）先求出兩曲線的交點(diǎn)，得到積分的上，下限，再用定積分求面積．

解答 解：（文科）y'=1+$\frac{1}{x}$${|}_{x=1}^{\;}$=2，即切線的斜率為2，
根據(jù)點(diǎn)斜式，求得切線方程為y=2x-1，
該直線又與拋物線y=ax²+（a+2）x+1相切（a≠0），
聯(lián)立得，ax²+（a+2）x+1=2x-1，
整理得，ax²+ax+2=0，
由△=0解得a=8（舍a=0），
故答案為：8．
（理科）聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x^2}\\{y=x}\end{array}\right.$解得x=0或x=1，
兩曲線圍成的面積根據(jù)定積分得，
S=x-${∫}_{0}^{1}（x-x^2）dx$=$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3$${|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{6}$，
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用和定積分的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．