Question

6．已知圓C：x²+（y-t）²=t被直線y=3截得的弦長為2$\sqrt{3}$，直線l：y=kx與圓C交于兩點(diǎn)M，N．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)P（m，n）在線段MN上，且$\frac{2}{|OP{|}^{2}}$=$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用弦長公式，解方程可得t=4，進(jìn)而得到圓的方程；
（2）將y=kx代入x²+（y-4）²=4，消去y，可得x的方程，由判別式大于0，可得k的范圍；設(shè)出M，N的坐標(biāo)，求得|OM|，|OP|，|ON|的長，運(yùn)用韋達(dá)定理，化簡整理，注意k的范圍的運(yùn)用，即可得到所求函數(shù)式，進(jìn)而得到n的范圍．

解答 解：（1）x²+（y-t）²=t的圓心為（0，t），半徑為r=$\sqrt{t}$，
由弦長公式可得2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{t-（t-3）^{2}}$，解得t=4（3舍去），
圓的方程為x²+（y-4）²=4．
將y=kx代入x²+（y-4）²=4中，
得（1+k²）x²-8kx+12=0．（*）
由△=（-8k）²-4（1+k²）×12＞0，得k²＞3．
所以，k的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）．
（2）因為M，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，kx₁），（x₂，kx₂），
則|OM|²=（1+k²）x₁²，|ON|²=（1+k²）x₂²，
又|OP|²=m²+n²=（1+k²）m²．
由$\frac{2}{|OP{|}^{2}}$=$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$，得$\frac{2}{（1+{k}^{2}）{m}^{2}}$=$\frac{1}{（1+{k}^{2}）{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{（1+{k}^{2}）{{x}_{2}}^{2}}$，
即$\frac{2}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$，
將y=kx代入x²+（y-4）²=4中，
得（1+k²）x²-8kx+12=0．（*）
由△=（-8k）²-4（1+k²）×12＞0，得k²＞3．
x₁+x₂=$\frac{8k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+{k}^{2}}$，
所以m²=$\frac{36}{5{k}^{2}-3}$．
因為點(diǎn)Q在直線y=kx上，
所以k=$\frac{n}{m}$，代入m²=$\frac{36}{5{k}^{2}-3}$．
中并化簡，得5n²-3m²=36．
由m²=$\frac{36}{5{k}^{2}-3}$及k²＞3，可知0＜m²＜3，即m∈（-$\sqrt{3}$，0）∪（0，$\sqrt{3}$）．
根據(jù)題意，點(diǎn)P在圓C內(nèi)，則n＞0，
所以n=$\sqrt{\frac{36+3{m}^{2}}{5}}$．由0＜m²＜3，可得36＜36+3m²＜45，
于是n的取值范圍是（$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，3）．

點(diǎn)評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程的求法和函數(shù)的解析式的求法，注意聯(lián)立直線方程和圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．