Question

已知為橢圓的左右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過作垂直于軸的直線交橢圓于，設(shè) .

（1）證明： 成等比數(shù)列；

(2)若的坐標(biāo)為，求橢圓的方程；

（3）在(2)的橢圓中，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）由條件知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，y0），其中|y0|=d，知，d=b•＝，由此能證明d，b，a成等比數(shù)列．

（2）由條件知c＝，d＝1，知b2＝a?1，a2＝b2+2，由此能求出橢圓方程．

（3）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），當(dāng)l⊥x軸時(shí)，A（-，-1）、B（-，1），所以≠0． 設(shè)直線的方程為y=k（x+），代入橢圓方程得(1+2k2)x2+4k2x+4k2?4＝0再由韋達(dá)定理能夠推導(dǎo)出直線的方程．

試題解析：(1)證明：由條件知M點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，

， ，即成等比數(shù)列． 3分

(2)由條件知，橢圓方程為 6分

（3）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），當(dāng)l⊥x軸時(shí)，A（-，-1）、B（-，1），所以≠0． 設(shè)直線的方程為y=k（x+），代入橢圓方程得(1+2k2)x2+4k2x+4k2?4＝0所以 ①由得

整理后把①式代入解得k=，

所以直線l的方程為.

考點(diǎn)：數(shù)列與解析幾何的綜合.