Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-2x，證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 首先，求導(dǎo)數(shù)，然后，分為x是否為零進(jìn)行討論，同時(shí)結(jié)合范圍進(jìn)行判斷即可．

解答 證明：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
而f'（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-2，
當(dāng)x=0時(shí)，f'（x）=-2＜0，
當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{x}^{2}}}}$-2，
∵x²＞0，
∴1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞1，
∴f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，屬于中檔題．