Question

19．已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上且過點$P（1，-\frac{3}{2}）$，離心率是$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓上任意一點P作圓O：x²+y²=3的切線l₁，l₂，設直線OP，l₁，l₂的斜率分別是k₀，k₁，k₂，試問在三個斜率都存在且不為0的條件下，$\frac{1}{k_0}（\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}）$是否是定值，請說明理由，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）設出橢圓方程，利用已知條件列出方程組，求出a，b，即可得到橢圓方程．
（2）設P（x₀，y₀），過P的斜率為k的直線為y-y₀=k（x-x₀），利用直線與圓O相切推出$（{x_0}^2-3）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+{y_0}^2-3=0$，通過韋達定理得到$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{{2{x_0}{y_0}}}{{{y_0}^2-3}}$，代入${y_0}^2-3=-\frac{3}{4}{x_0}^2$，推出結果．

解答 解：（1）設橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．
由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3．故橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$
（2）設P（x₀，y₀），過P的斜率為k的直線為y-y₀=k（x-x₀），
由直線與圓O相切可得下，$\frac{{|y-k{x_0}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{3}$，即：$（{x_0}^2-3）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+{y_0}^2-3=0$，
由已知可知k₁，k₂是方程$（{x_0}^2-3）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+{y_0}^2-3=0$的兩個根，
所以由韋達定理：k₁+k₂=$\frac{{2{x_0}{y_0}}}{{{x_0}^2-3}}$，k₁k₂=$\frac{{{y_0}^2-3}}{{{x_0}^2-3}}$，
兩式相除：$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{{2{x_0}{y_0}}}{{{y_0}^2-3}}$，
又因為${y_0}^2-3=-\frac{3}{4}{x_0}^2$，
代入上式可得，$\frac{1}{k_0}（\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}）=-\frac{8}{3}$為一個定值．

點評 本題考查橢圓方程的求法在下雨圓的位置關系以及橢圓方程的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．