Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$-2x，其中a≤0
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+b，求a-2b的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)切線的定義代入求值即可；
（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)，對a進行分類討論，通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出原函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}-2x$的定義域為（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-ax-2=\frac{{-a{x^2}-2x+1}}{x}$…（1分）
由題意得f'（1）=2，即-a-2+1=2，所以a=-3…（3分）
又因為$f（1）=-\frac{1}{2}×-3-2=-\frac{1}{2}$，所以把點$（{1，-\frac{1}{2}}）$帶入y=2x+b，
得$b=-\frac{5}{2}$                          …（5分）
所以a-2b=2…（6分）
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x}-ax-2=\frac{{-a{x^2}-2x+1}}{x}$，
 當(dāng)a=0時，$f'（x）=\frac{-2x+1}{x}$
由f'（x）＞0得$0＜x＜\frac{1}{2}$，由f'（x）＜0得$x＞\frac{1}{2}$
所以函數(shù)f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞減        …（8分）
當(dāng)a＜0時，令h（x）=-ax²-2x+1，由于△=4+4a=4（1+a）
（1）當(dāng)a≤-1時，△≤0，f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增                               …（10分）
（2）當(dāng)-1＜a＜0時，△＞0
由f'（x）＞0得$0＜x＜\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}$或$x＞\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}$
由f'（x）＜0得$\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}＜x＜\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}$
所以函數(shù)f（x）在$（0，\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}），（\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}，+∞）$上單調(diào)遞增，
在$（\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}，\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}）$上單調(diào)遞減                  …（12分）
綜上可得，當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞減
當(dāng)-1＜a＜0時，函數(shù)f（x）在$（0，\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}），（\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}，+∞）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}，\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}）$上單調(diào)遞減，
當(dāng)a≤-1時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增                …（14分）

點評 考查了導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，難點是對參數(shù)的分類討論問題．