Question

1．已知一圓錐的母線長為4，若過該圓錐頂點的所有截面面積分布范圍是（0，4$\sqrt{3}}$]，則該圓錐的側面展開圖的扇形圓心角等于（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． π或$\sqrt{3π}$
• C． $\sqrt{3π}$
• D． π

Answer 1

分析 根據當圓錐的軸截面頂角不小于90°時，過頂點的截面面積的最大值為$\frac{1}{2}$l²；判斷圓錐的軸截面的頂角小于90°，利用$\frac{1}{2}$×2r×$\sqrt{{4}^{2}-{r}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，求出r，根據側面展開圖扇形圓心角θ=$\frac{r}{l}$•2π求θ

解答 解：∵圓錐的軸截面頂角不小于90°時，過頂點的截面面積的最大值為$\frac{1}{2}$×4×4=8＞4$\sqrt{3}$，
∴圓錐的軸截面為銳角三角形，
∴過頂點的截面三角形中面積最大為軸截面面積，
則$\frac{1}{2}$×2r×$\sqrt{{4}^{2}-{r}^{2}}$=4$\sqrt{3}$（r為圓錐底面半徑），
解得r=2或r=2$\sqrt{3}$（舍去）．
∴側面展開圖扇形圓心角θ=$\frac{r}{l}$•2π=$\frac{2}{4}$•2π=π．
∴該圓錐的側面展開圖的扇形圓心角等于π．
故選：D．

點評 本題考查了過圓錐的頂點的截面面積問題，考查了圓錐側面展開圖的圓心角公式，當圓錐的軸截面頂角不小于90°時，過頂點的截面面積的最大值為$\frac{1}{2}$l²；當圓錐的軸截面頂角小于90°時，過頂點的截面面積的最大值為軸截面面積