Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x+ae^-x，若f′（x）≥2$\sqrt{3}$恒成立，則a的取值范圍為（　　）

• A． [3，+∞）
• B． （0，3]
• C． [-3，0）
• D． （-∞，-3]

Answer 1

分析 先求導(dǎo)數(shù)f′（x），要使f′（x）≥2$\sqrt{3}$恒成立，則將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化為含參數(shù)恒成立問題．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）=e^x-ae^-x，
所以由f′（x）≥2$\sqrt{3}$得e^x-ae^-x≥2$\sqrt{3}$，即a≤-2$\sqrt{3}$e^x+e^2x成立．
設(shè)t=e^x，則t＞0，則函數(shù)y=（t-$\sqrt{3}$）²-3
因?yàn)閠＞0，所以當(dāng)t=$\sqrt{3}$時(shí)，y有最小值-3，
所以a≤-3．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，以及含參數(shù)不等式的恒成立問題．最值恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為最值恒成立．