Question

3．拋物線y²=x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P（x，y）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又點(diǎn)A（-$\frac{1}{4}$，0）．則$\frac{|PF|}{|PA|}$的最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，則$\frac{|PF|}{|PA|}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，故當(dāng)PA和拋物線相切時(shí)，$\frac{|PF|}{|PA|}$最�。�再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得$\frac{|PF|}{|PA|}$最小值．

解答 解：由題意可得，焦點(diǎn)F（$\frac{1}{4}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{1}{4}$．
過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，

則$\frac{|PF|}{|PA|}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，其中∠PAM 為銳角．
故當(dāng)∠PAM 最小時(shí)，$\frac{|PF|}{|PA|}$最小，
故當(dāng)PA和拋物線相切時(shí)，$\frac{|PF|}{|PA|}$最�。�
設(shè)切點(diǎn)P（a，$\sqrt{a}$），則PA的斜率為$\frac{\sqrt{a}}{a+\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$，
求得a=$\frac{1}{4}$，可得P（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
∴|PM|=$\frac{1}{2}$，|PA|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin∠PAM=$\frac{|PM|}{|PA|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．