Question

13．已知冪函數(shù)f（x）=（m-1）²x${\;}^{{m}^{2}-4m+2}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）=2^x-k，當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，記f（x），g（x）的值域分別為集合A，B，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． [0，1）
• C． （0，1]
• D． [0，1]

Answer 1

分析 根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)先求出m，結(jié)合集合的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：∵f（x）是冪函數(shù)，
∴（m-1）²=1，
解得m=2或m=0，
若m=2，則f（x）=x^-2，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不滿足條件．
若m=0，則f（x）=x²，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，滿足條件．
即f（x）=x²，
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）∈[1，4），即A=[1，4），
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，g（x）∈[2-k，4-k），即B=[2-k，4-k），
∵A∪B=A，∴B⊆A，
則$\left\{\begin{array}{l}{2-k≥1}\\{4-k≤4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k≤1}\\{k≥0}\end{array}\right.$，
解得0≤k≤1，
故選：D

點(diǎn)評 本題主要考查冪函數(shù)性質(zhì)和定義的應(yīng)用，函數(shù)值域的計(jì)算以及集合關(guān)系的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)．