Question

12．已知函數(shù)$f（x）={cos}^{2}（x+\frac{π}{12}）$，$g（x）=1+\frac{1}{2}sin2x$．
（I）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（II）設(shè)x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，求g（x₀）的值．

Answer 1

分析 （I）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得h（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）$+\frac{3}{2}$，令2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，即可解得函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（II）由x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，可求2x₀+$\frac{π}{6}$=kπ，解得2x₀=k$π-\frac{π}{6}$（k∈Z），從而可得g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（k$π-\frac{π}{6}$），分情況討論即可得解．

解答 解：（I）h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{2}$[1+cos（2x+$\frac{π}{6}$）]+1+$\frac{1}{2}$sin2x，…（1分）
=$\frac{1}{2}$[cos（2x+$\frac{π}{6}$）+sin2x]+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x）+$\frac{3}{2}$…（2分）
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）$+\frac{3}{2}$…（3分）
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，…（4分）
得k$π-\frac{5π}{12}$≤x≤k$π+\frac{π}{12}$（k∈Z）時(shí)，…（5分）
故函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[k$π-\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{π}{12}$]（k∈Z）…（6分）
（II）由題設(shè)知f（x）=$\frac{1}{2}$[1+cos（2x+$\frac{π}{6}$）]．．
因?yàn)閤=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，所以2x₀+$\frac{π}{6}$=kπ，…（8分）
即2x₀=k$π-\frac{π}{6}$（k∈Z）…（9分）
所以g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin2x₀=1+$\frac{1}{2}$sin（k$π-\frac{π}{6}$），…（10分）
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{π}{6}$）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，…（11分）
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin$\frac{π}{6}$=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．