Question

（本題滿分15分）

數(shù)列首項(xiàng)，前項(xiàng)和與之間滿足．

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）設(shè)存在正數(shù)，使對(duì)都成立，求的最大值．

 

Answer 1

（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022106022810574598/SYS201502210602327779665951_DA/SYS201502210602327779665951_DA.001.png">時(shí)，得

由題意

又 是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．

（Ⅱ）；(Ⅲ) 的最大值是．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將已知直接代入公式中，即可得到，兩邊同除以即可得出結(jié)論；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出，運(yùn)用公式即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅲ)記 ，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷其為單調(diào)遞增的，所以使得恒成立，只需滿足即可. 而由的單調(diào)性知，，即可求出的最大值.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022106022810574598/SYS201502210602327779665951_DA/SYS201502210602327779665951_DA.001.png">時(shí)，得

由題意

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022106022810574598/SYS201502210602327779665951_DA/SYS201502210602327779665951_DA.006.png"> 是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）有

時(shí)，

又

(Ⅲ) 設(shè)

則

在上遞增 故使恒成立，只需．

又 又 ，

所以，的最大值是．

考點(diǎn)：等差數(shù)列；數(shù)列的單調(diào)性.