【題目】已知拋物線 的焦點為,過拋物線上的動點（除頂點外）作的切線交軸于點.過點作直線的垂線（垂足為）與直線交于點.

（Ⅰ）求焦點的坐標；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求線段的長.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由拋物線方程，可得 ，從而得焦點的坐標；（Ⅱ）設，利用導數(shù)的幾何意義可得過點的切線的斜率為，從而得，根據(jù)過兩點的斜率公式可得，從而可得結論；（Ⅲ）由(Ⅱ)可設直線的方程為，.直線的方程為 .設和交點的坐標為，聯(lián)立直線方程可得，，代入圓的方程結果.

試題解析：（Ⅰ）由拋物線方程，可得 ，可得

（Ⅱ）設.由，得，則過點的切線的斜率為.

則過點的切線方程為.令，得，即.又點為拋物線上除頂點外的動點，，則.而由已知得，則.又，即與不重合，即.

（Ⅲ）由(Ⅱ)問，直線的方程為，.直線的方程為 .設和交點的坐標為則

由（1）式得，（由于不與原點重合，故）.代入（2），化簡得 .又，化簡得, （）.

即點在以為圓心，1為半徑的圓上.（原點與除外）

即.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】【2018貴州遵義市高三上學期第二次聯(lián)考】設拋物線的準線與軸交于，拋物線的焦點為，以為焦點，離心率的橢圓與拋物線的一個交點為；自引直線交拋物線于兩個不同的點，設．

（Ⅰ）求拋物線的方程和橢圓的方程；

（Ⅱ）若，求的取值范圍．

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【題目】衡陽市為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者，現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名后按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．

（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場的宣傳活動，則應從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的條件下，該市決定在第3，4組的志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率．

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為梯形，平面平面

為側棱的中點，且.

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】數(shù)列： 滿足： ， 或1（）．對任意，都存在，使得．，其中 且兩兩不相等．

(I)若．寫出下列三個數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號；

①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2

(Ⅱ)記．若，證明： ；

(Ⅲ)若，求的最小值.

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【題目】已知函數(shù)，（其中）

（1）若，討論函數(shù)的單調性；

（2）若，求證：函數(shù)有唯一的零點.

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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，已知點，以原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為，過點作極坐標方程為的直線的平行線，分別交曲線于兩點.

（1）寫出曲線和直線的直角坐標方程；

（2）若成等比數(shù)列，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】質檢部門對某工廠甲、乙兩個車間生產(chǎn)的12個零件質量進行檢測.甲、乙兩個車間的零件質量(單位：克）分布的莖葉圖如圖所示.零件質量不超過20克的為合格.

（1）從甲、乙兩車間分別隨機抽取2個零件，求甲車間至少一個零件合格且乙車間至少一個零件合格的概率；

（2）質檢部門從甲車間8個零件中隨機抽取4件進行檢測，若至少2件合格，檢測即可通過，若至少3 件合格，檢測即為良好，求甲車間在這次檢測通過的條件下，獲得檢測良好的概率；

（3）若從甲、乙兩車間12個零件中隨機抽取2個零件，用表示乙車間的零件個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.

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【題目】已知橢圓E： （a﹥b﹥0）的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓E上.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

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