【題目】數(shù)列: 滿足: , 或1().對任意,都存在,使得.,其中 且兩兩不相等.
(I)若.寫出下列三個數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號;
①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2
(Ⅱ)記.若,證明: ;
(Ⅲ)若,求的最小值.
【答案】(Ⅰ) ②③(Ⅱ)見解析(Ⅲ)的最小值為
【解析】試題分析:(Ⅰ)依據(jù)定義檢驗給出的數(shù)列是否滿足要求條件.(Ⅱ)當(dāng)時, 都在數(shù)列中出現(xiàn),可以證明至少出現(xiàn)4次,2至少出現(xiàn)2次,這樣. (Ⅲ)設(shè)出現(xiàn)頻數(shù)依次為.同(Ⅱ)的證明,可得: , , ,┄, , , ,則,我們再構(gòu)造數(shù)列:
,證明該數(shù)列滿足題設(shè)條件,從而的最小值為.
解析:(Ⅰ)對于①,,對于, 或,不滿足要求;對于②,若,則,且彼此相異,若,則,且彼此相異,若,則,且彼此相異,故②符合題目條件;同理③也符合題目條件,故符合題目條件的數(shù)列的序號為②③.
注:只得到 ② 或只得到 ③ 給[ 1分],有錯解不給分.
(Ⅱ)當(dāng)時,設(shè)數(shù)列中出現(xiàn)頻數(shù)依次為,由題意.
① 假設(shè),則有(對任意),與已知矛盾,所以.同理可證: .
② 假設(shè),則存在唯一的,使得.那么,對,有(兩兩不相等),與已知矛盾,所以.
綜上: , , ,所以.
(Ⅲ)設(shè)出現(xiàn)頻數(shù)依次為.同(Ⅱ)的證明,可得: , , ,┄, , , ,則.
取得到的數(shù)列為:
下面證明滿足題目要求.對,不妨令,
① 如果或,由于,所以符合條件;
② 如果或,由于,所以也成立;
③ 如果,則可選取;同樣的,如果,
則可選取,使得,且兩兩不相等;
④ 如果,則可選取,注意到這種情況每個數(shù)最多被選取了一次,因此也成立.綜上,對任意,總存在,使得,其中且兩兩不相等.因此滿足題目要求,所以的最小值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點,拋物線上在第一象限內(nèi)的點到焦點的距離為,曲線在點處的切線交軸于點,直線經(jīng)過點且垂直于軸.
(Ⅰ)求點的坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)不經(jīng)過點和的動直線交曲線于點和,交于點,若直線,,的斜率依次成等差數(shù)列,試問:是否過定點?請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的不等式(其中).
(1)當(dāng)時,求不等式的解集;
(2)若不等式在內(nèi)有解,求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2018屆高三·湖南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,則當(dāng)y≥1時, 的取值范圍是( )
A. B.
C. [1,3-3] D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線 的焦點為,過拋物線上的動點(除頂點外)作的切線交軸于點.過點作直線的垂線(垂足為)與直線交于點.
(Ⅰ)求焦點的坐標(biāo);
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)求線段的長.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程及曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)當(dāng)()時在曲線上對應(yīng)的點為,若的面積為,求點的極坐標(biāo),并判斷是否在曲線上(其中點為半圓的圓心)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,射線OA、OB分別與x軸正半軸成45°和30°角,過點P(1,0)作直線AB分別交OA、OB于A、B兩點,當(dāng)AB的中點C恰好落在直線y=x上時,求直線AB的方程.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com