Question

18．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（4-x）=f（x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=$\sqrt{\frac{x}{2}}$，又g（x）=cos$\frac{πx}{4}$，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-4，4]上的所有解的和為-2．

Answer 1

分析 由題意可得f（x）是周期為8的奇函數(shù)，g（x）是周期為8的偶函數(shù)，作出圖象可得交點(diǎn)坐標(biāo)，相加可得．

解答 解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（4-x）=f（x），
∴f（x）=f（4-x）=-f（x-4），∴f（x-4）=-f（x），
∴f（x-8）=f（x-4-4）=-f（x-4）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為8的奇函數(shù)，
∵x∈[0，2]時(shí)，f（x）=$\sqrt{\frac{x}{2}}$，
函數(shù)g（x）=cos$\frac{πx}{4}$是周期為T(mén)=$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8的偶函數(shù)，
在同一個(gè)坐標(biāo)系作出它們的圖象，其中紅色為f（x）的圖象，
可得x₁=1，x₂=-3，
∴方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-4，4]上的所有解的和為-2
故答案為：-2

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，涉及數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．