Question

7．已知函數f（x）=|x-1|+|x-3|+|x-a|．
（Ⅰ）當a=1時，求不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）設函數f（x）的最小值為g（a），求g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）化簡函數f（x）的解析式，畫出函數的f（x）的圖象，數形結合求得不等式f（x）＜4的解集．
（2）由條件利用絕對值的意義求得g（a）的最小值．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=2|x-1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+5，x＜1}\\{x+1，1≤x≤3}\\{3x-5，x＞3}\end{array}\right.$，
由圖可得，不等式f（x）＜4的解集為（$\frac{1}{3}$，3）．
（2）函數f（x）=|x-1|+|x-3|+|x-a|表示數軸上的x對應點到a、1、3對應點的距離之和，
可得f（x）的最小值為g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{3-a，a＜1}\\{2，1≤a≤3}\\{a-1，a＞3}\end{array}\right.$，故g（a）的最小值為2．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．