Question

3．已知0°＜α＜45°，且lg（tanα）-lg（sinα）=lg（cosα）-lg（$\frac{1}{tanα}$）+2lg3-$\frac{3}{2}$lg2，則cos³α-sin³α=$\frac{16\sqrt{2}-1}{27}$．．

Answer 1

分析 由已知及對數(shù)的運算性質(zhì)可得sinαcosα=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$，從而可求（sinα-cosα）²的值，結(jié)合α的范圍即可求出cosα-sinα的值，由立方差公式即可求解．

解答 解：lg（tanα）-lg（sinα）=lg（cosα）-lg（$\frac{1}{tanα}$）+2lg3-$\frac{3}{2}$lg2，
⇒lg$\frac{tanα}{sinα}$=lgsinα+lg$\frac{9}{\sqrt{8}}$，
⇒sinαcosα=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$，
⇒（sinα-cosα）²=sin²α+cos²α-2sinαcosα=1-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
⇒（sinα-cosα）=$\frac{9-4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{8-2\sqrt{2}+1}{9}$=$\frac{（2\sqrt{2}-1）^{2}}{{3}^{2}}$，
∵0＜α＜45°，
∴sinα-cosα＜0，
∴sinα-cosα=-$\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$，即 cosα-sinα=$\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$，
∴cos³α-sin³α=（cosα-sinα）（1+sinαcosα）=$\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$×（1+$\frac{2\sqrt{2}}{9}$）=$\frac{16\sqrt{2}-1}{27}$．
故答案為：$\frac{16\sqrt{2}-1}{27}$．

點評 此題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，立方差公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．