Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ-1，數(shù)列{b_n}滿足b₁=0，b_n+1-b_n=2n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若C_n=$\frac{{a}_{n}•_{n}}{n}$，求數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；再由b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，可得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求得C_n=$\frac{{a}_{n}•_{n}}{n}$=（n-1）•2^n-1，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2-1=1，
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1；
即有數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1；
b₁=0，b_n+1-b_n=2n（n∈N^*），
可得b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=0+2+4+6+…+2（n-1）=$\frac{1}{2}$n•2（n-1）=n（n-1），
即有{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=n（n-1）；
（2）C_n=$\frac{{a}_{n}•_{n}}{n}$=（n-1）•2^n-1，
前n項(xiàng)和T_n=0+1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1，
2T_n=0+1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ，
兩式相減可得，-T_n=0+2+2²+2³+…+2^n-1-（n-1）•2ⁿ
=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n-1）•2ⁿ，
化簡(jiǎn)可得，前n項(xiàng)和T_n=2+（n-2）•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，以及數(shù)列的恒等式的運(yùn)用，同時(shí)考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，屬于中檔題．