【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90℃,BC=2AD,△PAB與△PAD都是等邊三角形,平面ABCD⊥平面PBD.
(I)證明:CD⊥平面PBD;
(II)求二面角A﹣PD﹣C的余弦值.

【答案】證明:(I)取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE、BD,∵△PAB和△PCD都是等邊三角形,∴AD=AB,
∵∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,∴四邊形ABED為正方形,
設(shè)AB=2,則BD=CD=2 ,BC=4,
∴BD2+CD2=BC2 ,
∴CD⊥BD,
∵平面ABCD⊥平面PBD,平面ABCD∩平面PBD=BD,
∴CD⊥平面PBD.
解:(II)由(I)知CD⊥平面PBD,又PD面PBD,∴CD⊥PD.
取PD的中點(diǎn)F,PC的中點(diǎn)G,連結(jié)FG,
則FG∥CD,F(xiàn)G⊥PD.
連結(jié)AF,由△APD為等邊三角形,得AF⊥PD.
∴∠AFG為二面角A﹣PD﹣C的平面角.
連結(jié)AG、EG,則EG∥PB.
又PB⊥AE,∴EG⊥AE,
設(shè)AB=2,則AE=2 ,EG= =1,
AG= =3,
在△AFG中,F(xiàn)G= = ,AF= ,AG=3,
∴cos∠AFG= =﹣
∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值為

【解析】(I)取BC中點(diǎn)E,推導(dǎo)出四邊形ABED為正方形,從而CD⊥BD,由此能證明CD⊥平面PBD.(II)由(I)知CD⊥平面PBD,從而CD⊥PD.取PD的中點(diǎn)F,PC的中點(diǎn)G,連結(jié)FG,連結(jié)AF,得∠AFG為二面角A﹣PD﹣C的平面角,由此能示出二面角A﹣PD﹣C的余弦值.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定,掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某保險(xiǎn)公司針對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品,每年每位職工只要交少量保費(fèi),發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為A、B、C三類工種,從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖,根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表(并以此估計(jì)賠付頻率).

工種類別

A

B

C

賠付頻率

對(duì)于A、B、C三類工種職工每人每年保費(fèi)分別為a元,a元,b元,出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬元,100萬元,50萬元,保險(xiǎn)公司在開展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年10萬元.

(Ⅰ)若保險(xiǎn)公司要求利潤(rùn)的期望不低于保費(fèi)的20%,試確定保費(fèi)a、b所要滿足的條件;
(Ⅱ)現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇;
方案1:企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作,企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)提供的等額的賠償金額賠付給出險(xiǎn)職工;
方案2:企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作,企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的60%,職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的40%,出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付.
若企業(yè)選擇翻翻2的支出(不包括職工支出)低于選擇方案1的支出期望,求保費(fèi)a、b所要滿足的條件,并判斷企業(yè)是否可與保險(xiǎn)公司合作.(若企業(yè)選擇方案2的支出低于選擇方案1的支出期望,且與(Ⅰ)中保險(xiǎn)公司所提條件不矛盾,則企業(yè)可與保險(xiǎn)公司合作.)

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【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx﹣ )+2 sinωx,(ω>0)周期T∈[π,2π],x=π為函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸,
(1)求ω;
(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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【題目】(本小題滿分12分).已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為

(1)求的值;

(2)設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;

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【題目】下列說法錯(cuò)誤的是( )

A. 命題x24x30,則x3”的逆否命題是:x≠3,則x24x3≠0”

B. “x>1”“|x|>0”的充分不必要條件

C. pq為假命題,則p、q均為假命題

D. 命題p“x0∈R使得x01<0”,則p“x∈R,均有x2x1≥0”

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【題目】已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.

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【題目】設(shè)函數(shù),,(其中).

(1)時(shí),求函數(shù)的極值;

(2)證:存在,使得內(nèi)恒成立,且方程內(nèi)有唯一解.

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【題目】已知橢圓 ,過 的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),過Q(x0 , 0)(|x0|<a)的直線l'與橢圓交于M,N兩點(diǎn).

(1)當(dāng)l的斜率是k時(shí),用a,b,k表示出|PA||PB|的值;
(2)若直線l,l'的傾斜角互補(bǔ),是否存在實(shí)數(shù)x0 , 使 為定值,若存在,求出該定值及x0 , 若不存在,說明理由.

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【題目】a,b為正數(shù),給出下列命題:
①若a2﹣b2=1,則a﹣b<1;
②若 =1,則a﹣b<1;
③ea﹣eb=1,則a﹣b<1;
④若lna﹣lnb=1,則a﹣b<1.
期中真命題的有

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