【題目】設(shè)函數(shù),,(其中).
(1)時,求函數(shù)的極值;
(2)證:存在,使得在內(nèi)恒成立,且方程在內(nèi)有唯一解.
【答案】(1) ;;(2)見解析.
【解析】
(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;
(Ⅱ)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論m的范圍,求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,求出滿足條件的m的范圍,從而證出結(jié)論即可.
解:(I)當(dāng)時, ,
令,得,,當(dāng)變化時,的變化如下表:
極大值 | 極小值 |
由表可知,;;
(II)設(shè),,,若要有解,需有單減區(qū)間,則要有解
,由,,記為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
則 ,當(dāng)時單增,令,由,得,需考察與區(qū)間的關(guān)系:
①當(dāng)時,,,在上,單增,
故單增,,無解;
②當(dāng),時,,,因為單增,在上,在上
當(dāng)時,
(i)若,即時,,單增,,無解;
(ii)若,即,,在上,,單減;,,在區(qū)間上有唯一解,記為;在上,單增 ,,當(dāng)時,故在區(qū)間上有唯一解,記為,則在上,在上,在上,當(dāng)時,取得最小值,此時
若要恒成立且有唯一解,當(dāng)且僅當(dāng),即,由有
聯(lián)立兩式解得.綜上,當(dāng)時,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】4月23人是“世界讀書日”,某中學(xué)在此期間開展了一系列的讀書教育活動,為了解本校學(xué)生課外閱讀情況,學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對其課外閱讀時間進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時間(單位:分鐘)的頻率分布直方圖,若將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書謎”,低于60分鐘的學(xué)生稱為“非讀書謎”
(1)求x的值并估計全校3000名學(xué)生中讀書謎大概有多少?(經(jīng)頻率視為頻率)
非讀書迷 | 讀書迷 | 合計 | |
男 | 15 | ||
女 | 45 | ||
合計 |
(2)根據(jù)已知條件完成下面2×2的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為“讀書謎”與性別有關(guān)? 附:K2= n=a+b+c+d
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合為下述條件的函數(shù)的集合:①定義域為;②對任意實數(shù),都有.
(1)判斷函數(shù)是否為中元素,并說明理由;
(2)若函數(shù)是奇函數(shù),證明:;
(3)設(shè)和都是中的元素,求證:也是中的元素,并舉例說明,不一定是中的元素.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90℃,BC=2AD,△PAB與△PAD都是等邊三角形,平面ABCD⊥平面PBD.
(I)證明:CD⊥平面PBD;
(II)求二面角A﹣PD﹣C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣kx2(k∈R)有四個不同的零點(diǎn),則實數(shù)k的取值范圍是( )
A.k<0
B.k<1
C.0<k<1
D.k>1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,給出下列判斷:
①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-3,-1)內(nèi)單調(diào)遞增;②當(dāng)x=2時,函數(shù)y=f(x)有極小值;
③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;④當(dāng)時,函數(shù)y=f(x)有極大值.
則上述判斷中正確的是( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了得到函數(shù) 的圖象,只需將函數(shù)y=sin2x的圖象( )
A.向右平移 個單位
B.向右平移 個單位
C.向左平移 個單位
D.向左平移 個單位
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= sin ,若存在f(x)的極值點(diǎn)x0滿足x02+[f(x0)]2<m2 , 則m的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞)
B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)
C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率,為兩曲線的一個公共點(diǎn),且滿
足,則的值為 ( )
A. B. 1 C. 2 D. 不確定
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