Question

【題目】已知，為兩非零有理數(shù)列（即對(duì)任意的，均為有理數(shù)），為一無理數(shù)列（即對(duì)任意的，為無理數(shù)）．

（1）已知，并且對(duì)任意的恒成立，試求的通項(xiàng)公式．

（2）若為有理數(shù)列，試證明：對(duì)任意的，恒成立的充要條件為．

（3）已知，，對(duì)任意的，恒成立，試計(jì)算．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題（1）直接運(yùn)用題設(shè)中的條件解方程求解；（2）借助題設(shè)條件運(yùn)用充分必要條件進(jìn)行求解；（3）依據(jù)題設(shè)條件和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行綜合求解

試題解析：（1）∵，∴，即

∴，∵，∴，∴．

（2）∵，∴，

∴，∴，

∵為有理數(shù)列，∴，∴，以上每一步可逆．

（3），

∴，∴或

∵，∴，

當(dāng)時(shí)，∴

當(dāng)時(shí)，∴

∴為有理數(shù)列，

∵，∴，

∴，∵為有理數(shù)列，為無理數(shù)列，

∴，∴，

∴

當(dāng)時(shí)，∴

當(dāng)時(shí)，∴，

∴