Question

15．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，AC=$\sqrt{2}$，BB₁=2，點(diǎn)M為BB₁的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面A₁CM距離為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)A到平面A₁CM距離．

解答 解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，AC=$\sqrt{2}$，
∴BC²+AB²=AC²，∴AB⊥BC，
以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵BB₁=2，∴A（1，0，0），A₁（1，0，2），C（0，1，0），
M（0，0，1），
$\overrightarrow{M{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{MC}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{MA}$=（1，0，-1），
設(shè)平面A₁CM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{M{A}_{1}}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴點(diǎn)A到平面A₁CM距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MA}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．