Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD=PD=1，AB=2，ABCD為矩形，點E是線段AB中點．
（1）求證：PE⊥CE；
（2）求三棱錐A-CPE的高．

Answer 1

分析 （1）在矩形ABCD中，運(yùn)用勾股定理，可得DE，CE，再由線面垂直的性質(zhì)，可得PD⊥CD，PD⊥DE，運(yùn)用勾股定理求得PE，PC，由勾股定理的逆定理，即可得證；
（2）設(shè)三棱錐A-CPE的高為h，運(yùn)用三棱錐的等積法，可得$\frac{1}{3}$h•S_△PCE=$\frac{1}{3}$PD•S_△ACE，結(jié)合三角形的面積公式，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）證明：在矩形ABCD中，AD=AE=1，
可得DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
BC=BE=1，可得CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥CD，PD⊥DE，
即有PE=$\sqrt{P{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$，
PC=$\sqrt{P{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
即CE²+PE²=PC²，
則PE⊥CE；
（2）設(shè)三棱錐A-CPE的高為h，
由V_A-PCE=V_P-ACE，
可得$\frac{1}{3}$h•S_△PCE=$\frac{1}{3}$PD•S_△ACE，
即有h=$\frac{PD•{S}_{△ACE}}{{S}_{△PCE}}$=$\frac{1×\frac{1}{2}×1×1}{\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
則三棱錐A-CPE的高為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，注意運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，考查三棱錐的高的求法，注意運(yùn)用體積相等法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．