Question

6．已知定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)f（x），當x∈（0，1）時，f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$．
（1）求函數(shù)f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調性并加以證明；
（3）當λ取何值時，方程f（x）=λ在上（-1，1）有實數(shù)解？

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的性質進行轉化求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)單調性的定義，利用定義法進行證明．
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性的關系求出函數(shù)在（-1，1）上的值域即可得到結論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，
當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），
則f（-x）=$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$=-f（x），
則f（x）=-$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$．x∈（-1，0），
故函數(shù)f（x）在（-1，1）上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}}{1+{4}^{x}}，}&{x∈（0，1）}\\{0，}&{x=0}\\{-\frac{{2}^{x}}{1+{4}^{x}}，}&{x∈（-1，0）}\end{array}\right.$；
（2）設0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{1+{4}^{{x}_{1}}}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}}{1+{4}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（1+{4}^{{x}_{1}}）（1+{4}^{{x}_{2}}）}$，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴${2}^{{x}_{2}}$＞2${\;}^{{x}_{1}}$，${2}^{{x}_{2}}$-2${\;}^{{x}_{1}}$＞0，
則f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
即函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調遞減；
（3）∵f（x）在（0，1）上的單調遞減，
∴當0＜x＜1時，f（1）＜f（x）＜f（0），
即$\frac{2}{5}$＜f（x）＜$\frac{1}{2}$，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴當-1＜x＜0時，-$\frac{1}{2}$＜f（x）＜-$\frac{2}{5}$，
∵f（0）=0，
∴在（-1，1）上函數(shù)f（x）的取值范圍是（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{2}{5}$）∪{0}，
則若方程f（x）=λ在上（-1，1）有實數(shù)解，
則λ∈（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{2}{5}$）∪{0}．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用以及函數(shù)單調性和值域的判斷和應用，利用定義法以及函數(shù)單調性和值域之間的關系是解決本題的關鍵．