Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=（2x-1）e^x-mx+m．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程．
（2）當(dāng)m＜1時(shí)，若存在唯一整數(shù)x₀使得f（x₀）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=e^x（2x-1），h（x）=mx-m，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x₀使得g（x₀）在直線y=mx-m的下方，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得-m＞g（0）=-1且g（-1）=-3e^-1≥-m-m，解關(guān)于m的不等式組可得．

解答 解：（1）f（x）=（2x-1）e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線斜率為5e²，切點(diǎn)為（2，3e²），
即有在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y-3e²=5e²（x-2），
即為5e²x-y-7e²=0；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=e^x（2x-1），h（x）=mx-m，
由題意知存在唯一的整數(shù)x₀使得g（x₀）在直線y=h（x）=mx-m的下方，
∵g′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
∴當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）＞0，
∴當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）取最小值-2${e}^{-\frac{1}{2}}$，
當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=-1，當(dāng)x=1時(shí)，g（1）=e＞0，
直線y=mx-m恒過定點(diǎn)（1，0）且斜率為m，
故-m＞g（0）=-1且g（-1）=-3e^-1≥-m-m，
解得$\frac{3}{2e}$≤m＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和極值，涉及轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．